Método por Sustitución
Integración por Cambio de variable. Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente.
El método de integración
por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función
compuesta.
Queremos
realizar la integral ∫ ƒ(x) dx donde ƒ no tiene una primitiva inmediata.
Debemos buscar un cambio de variable que transforme la integral en una integral
inmediata o composición de funciones. Entonces, para el cambio,
x
= g(t)
dx
= g′(t)dt
∫
ƒ(x) dx = ∫ f(g(t))g′(t) dt
De esta forma se ha transformado el integrando en función de la
nueva variable t. Si la elección de la variable t ha
sido acertada, la integral resultante es más sencilla de integrar. El éxito de
la integración depende, en grado considerable, de la habilidad para elegir la
sustitución adecuada de la variable.
Una vez obtenida la función
primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable
substituyendo t = g (x).
Así se tiene la integral
indefinida en función de la variable inicial x.
Ejemplo:
Encuentre ∫ (3x − 5)4 dx
Solución.
En este caso sencillo podemos observar que esta integral "se parece"
a
∫
u4 du, lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u =
3x-5.
u
= 3x-5 ⇒ du = 3 dx ⇒ dx = (1/3)du
Sustituyendo
en la integral,
∫(3
x − 5)4 dx ==∫u4 du / 3 = ⅓∫ u4 du
=⅓(u5/5
) + c = u5/15 +c=∫(3 x − 5)5/15 +c
2.
Encuentre ∫ cos4x senx dx
Solución. En este caso la integral "se parece" a ∫ u4 du lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = cosx. u = cosx ⇒ du = -senx dx ⇒ dx = -du
∫(cosx) 4 (senx
dx) =∫(u4) (-du)=-∫u4 du= -(u5/5) + c
=-(Cos5x/5
) + c
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