Método por Sustitución

Integración por Cambio de variable. Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente.

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Queremos realizar la integral ∫ ƒ(x) dx donde ƒ no tiene una primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme la integral en una integral inmediata o composición de funciones. Entonces, para el cambio,

x = g(t)

dx = g′(t)dt

∫ ƒ(x) dx = ∫ f(g(t))g′(t) dt

De esta forma se ha transformado el integrando en función de la nueva variable t. Si la elección de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es más sencilla de integrar. El éxito de la integración depende, en grado considerable, de la habilidad para elegir la sustitución adecuada de la variable.

Una vez obtenida la función primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable substituyendo t = g (x).

Así se tiene la integral indefinida en función de la variable inicial x.

Ejemplo:

Encuentre ∫ (3x − 5)⁴ dx

Solución. En este caso sencillo podemos observar que esta integral "se parece" a

∫ u⁴ du, lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-5.

u = 3x-5 ⇒ du = 3 dx ⇒ dx = (1/3)du

Sustituyendo en la integral,

∫(3 x − 5)⁴ dx ==∫u⁴ du / 3 = ⅓∫ u⁴ du

=⅓(u⁵/5 ) + c = u⁵/15 +c=∫(3 x − 5)⁵/15 +c

2. Encuentre ∫ cos⁴x senx dx

Solución. En este caso la integral "se parece" a ∫ u⁴ du lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = cosx. u = cosx ⇒ du = -senx dx ⇒ dx = -du

∫(cosx) 4 (senx dx) =∫(u⁴) (-du)=-∫u⁴ du= -(u⁵/5) + c

=-(Cos⁵x/5 ) + c