Integral Definida
La integral definida es un concepto utilizado para
determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el
intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una
función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida
de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está
limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de
ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los
extremos del intervalo [a, b] se denota como:
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
- Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
- Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
- La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separar.
- La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral.
- Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
- Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:
A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:
- Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).
- Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
- El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:
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